miércoles, 19 de mayo de 2010

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

PRODUCTO POR UN ESCALAR



ASOCIATIVA
La propiedad asociativa de vectores nos dice que dados dos escalares a y b y un vector en el espacio u(x1,x2,x3), obtenemos el mismo resultado haciendo las siguientes operaciones:
a*(b*u) = (a*b)*u
DISTRIBUTIVA
La propiedad distributiva de la suma de escalares por vector nos dice que dados dos escalares a y b, y un vector u(x1,x2,x3), obtenemos es mismo resultado haciendo las siguientes operaciones:
(a+b)*u = a*u+b*v
Por parejas entrar en la siguiente página de descartes y en la siguiente y comprobar realizando los ejercicios 1.1 y 1.2 que el resultado obtenido en ambos casos es el mismo. Deberéis corregiros uno a otro y me entregaréis los resultados obtenidos de ambos.
Además quiero que copieis cada uno en vuestro cuaderno las propiedades respecto de la suma que nos explican en dicha página respecto de la suma y el producto por un escalar y que hagais gráficamente y numéricamente la comprobación con varios ejemplos. Deberéis entregarme esa comprobación.

martes, 18 de mayo de 2010

DEPENDENCIA LINEAL


COMBINACIÓN LINEAL

Dados dos vectores en el plano u(x,y) y v(z,t) y dos números a y b; el vectora*u(x,y)+b*v(z,t) se dice que es una combinación lineal de los anteriores u y v.
Una combinación lineal de dos o más vectores es pues el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.



Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única.

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES

Varios vectores libres del plano o del espacio se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Varios vectores libres del plano o del espacio se dice que son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito como combinación lineal de los restantes.

Un modo alternativo usa el hecho que 2 o 3 vectores (según estemos en el plano o en el espacio) son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto cero.
Viceversa, serán linealmente dependientes si su determinante toma el valor nulo.
Por ejemplo si estamos en el espacio y tenemos u(u1,u2,u3), v(v1,v2,v3) y w(w1,w2,w3), los vectores serán linealmente independientes si su determinante se cumple que su determiante, dado por:


Como ejercicio deberéis comprobar mediante la calculadora de internet wiris (pulsa para acceder) que dados los siguientes vectores y mediante su comprobación por medio de determinantes, si son linealmente dependientes o independientes.
Será un trabajo individual y como resultado deberéis dar el resultado obtenido en los determinantes y el resultado de dependencia o independencia lineal. El ejercicio deberá ser resuelto en una única sesión, ya que de antemano sabemos utilizar wiris.

1. (2,3) y (8,5)
2. (3,6) y (1,2)
3. (1,3,7), (8,5,2) y (9,6,5)
4. (4,3,9), (3,5,10) y (3,2,2)
5. (2,3,1), (1,0,1) y (0,3,-1)

jueves, 13 de mayo de 2010

OPERACIONES CON VECTORES

1. SUMA DE VECTORES

Como ya hemos explicado la suma analítica de dos vectores v(x,y) y w(z,t) se realiza de la siguiente manera v+w=(x,y)+(z,t)=(x+z,y+t).

2. PRODUCTO POR UN ESCALAR

El producto de un vector por un escalar se realiza de la siguiente manera, dado v(x,y) el vector y l un escalar, se escribe su producto como lv, y el resultado es lv=(lx, ly).
3. RESTA DE VECTORES

Debemos tener en cuenta que la resta de vectores es una combinación de las operaciones anteriores: v(x,y)-w(z,t)=v(x,y)+(-1)w(z,t)=(x-z,y-t).

4. MODULO DE UN VECTOR

Dado un vector v(x,y) se define su módulo como su longitud y la obtendremos de la siguiente forma, calcularemos la raíz cuadrada de "x" al cuadrado más "y" al cuadrado.


5. PRODUCTO POR UN ESCALAR

El producto escalar, también conocido como producto interno o interior es una operación externa definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado al operar entre sí dos vectores es un número. La operación que nos define un producto escalar es la siguiente: u.v=u*v*cos(u,v); es decir; el producto escalar es el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman. En cualquier caso la forma analítica del producto escalar es la siguiente:
u(x,y).v(z,t)=x*z+y*t
Vuestro trabajo consistirá en lo siguiente, trabajaréis de forma individual durante dos sesiones, uno en cada ordenador, y debéis entregar una hoja de cálculo dónde el usuario podrá introducir dos vectores y un escalar. Automáticamente la hoja calculará todas y cada una de las operaciones que aparecen explicadas anteriormente.
Se evaluará que las operaciones se realicen correctamente y el formato que apliquéis a la hoja. La hoja estaría perfecta si limitarais las celdas que se pueden modificar a las relativas al escalar y los vectores, bloqueando con contraseña las demás celdas.


miércoles, 12 de mayo de 2010

SUMA GRAFICA DE VECTORES


Numéricamente la forma de sumar dos vectores es sumando numéricamente cada uno de sus miembros.
Una forma de realizar la suma gráfica de dos vectores, es mediante el "método del paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico que va a continuación:


Suma vectoresoptim2.gif (13613 bytes)


Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el métodos anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Otra forma de sumar vectores gráficamente es colocar el origen de uno de los vectores en el extremo del otro, el vector suma será el vector cuyo origen es el origen del primer vector y cuyo extremo es el del segundo vector. En caso de sumar varios, iremos colocando el origen de uno en el extremo del otro y así sucesivamente. En el ejemplo siguiente podemos verlo gráficamente.

Como propuesta deberéis realizar mediante el programa geogebra (lo podéis descargar desde esta página) la comprobación de que el resultado numérico es el mismo que el resultado gráfico. Para ello crearéis dos vectores cualesquiera y comprobaréis que el vector obtenido realizando el paralelogramo es el mismo que realizando la suma de sus miembros.

Deberéis trabajar en grupos de tres personas y tras tres sesiones de trabajo con geogebra deberéis entregar el resultado en un fichero .ggb donde mediante el protocolo de construcción comprobaremos si el razonamiento es correcto.





lunes, 10 de mayo de 2010

¿QUE SABES DE PITAGORAS?



Cuando hablamos de Pitágoras todos recordamos su famoso teorema matemático sobre la resolución de triángulos rectángulos ("catetos", "hipotenusa"), pero si indagamos un poco en su biografía, encontramos que Pitágoras era además de un gran matemático, un valorado filósofo en su tiempo.
Pero para entender mejor a Pitágoras deberíamos informarnos de la época en que vivió, a través de este enlace puedes encontrar información a ese respecto.
En la siguiente página podeís encontrar una demostración del teorema de Pitágoras de forma gráfica basada en la descomposicón de
un cuadrado en triángulos rectángulos, y otro cuadrado de lado la hipotenusa de dichos cuadrados. En base a las áreas de los triángulos y el cuadrado formado al final, y simplificando llegamos a confirmar el teorema.

Como propuesta de trabajo, debereís realizar las siguientes actividades:
1. Entra en los enlaces propuestos y resume en cinco líneas aquello de la época de Pitágoras que más te haya llamado la atención.
2. Busca a través de Internet una demostración gráfica del teorema de Pitágoras y comenta de forma breve, qué forma te resulta más comprensible y por qué.


miércoles, 5 de mayo de 2010

PRESENTACION



Con este blog pretendemos utilizar las TIC para la explicación del manejo de vectores.

El nivel al que va dirigido el siguiente blog es para alumnos de 4º de ESO y alumnos de 1º de BACHILLERATO en función de la entrada que utilicemos al respecto.
Alguna de las entradas pueden ser refuerzo de 1º de BACHILLERATO o de ampliación de 4º de ESO.
Cada una de las entradas explicarán un concepto y se asociará a una Tecnología específica con la que poder trabajar dichos conceptos. Con ella los alumnos, divididos en grupos, deberán realizar alguna actividad propuesta y mandar los resultados obtenidos mediante un comentario en dicha entrada al tutor.